Les probabilités et leur histoire
-Retour sur le « hasard »
Il est difficile de définir le hasard de manière cohérente. Ce terme regroupe en effet les mathématiques, la philosophie et la physique.
Hasard vient du terme « al-zahr » qui signifie en arabe jeu de dés. Ce terme a pris différentes versions selon les époques, on l'associait à la chance, mais également au danger.
Depuis l'antiquité, le hasard intrigue les hommes. Ceux-ci imaginaient que le monde était dirigé par des dieux. Pour certains, seul le hasard existerait, alors que pour d'autres, le hasard serait le résultat de l'ignorance des hommes.
Alors qu'au XIXe siècle, le monde et ses mystères étaient représentés comme un système d'horlogerie où tout s'emboiterait, se compléterait pour assurer un bon fonctionnement, les idées progressent et les physiciens modifient cette conception assez peu mathématique du hasard.
De nos jours, le hasard a pris une grande importance dans les sciences comme la physique, les mathématiques, les statistiques...
On appelle jeu de hasard un jeu dont on ne peut déterminer le résultat.
-Les probabilités et le hasard
Les probabilités doivent leur création aux jeux de hasard. Les mathématiciens ont en effet inventé les probabilités pour résoudre des problèmes posés par ces jeux.
La pratique des jeux du hasard date de la plus Haute Antiquité, notamment en Chine, Inde et Egypte. Cependant, aucune preuve de l'existence de ces jeux ne permet de leur attribuer une date précise.
Tout commença par un problème de répartition équitable des enjeux d’une partie inachevée. L’un des joueurs a pris un avantage qui n’est pas décisif. Le mathématicien italien Luca Pacioli s’intéresse à ce problème et l’évoque en 1494 dans son manuel mathématique pour les écoles : Summa de Arithmetica, Geometrica, Proporto et Proportionalita. (Résumé de L'arithmétique, de la géométrie et de la proportionnalité)
Il prend pour exemple celui de deux équipes misant chacune 11 ducats. La partie est en 60 points. Lorsque la partie est interrompue, une équipe a 50 points tandis que l’autre en a 30.
Pour rétablir les gains équitablement, Luca Pacioli propose de les rétablir proportionnellement aux points que chaque équipe a marqués. Mais cette solution n’est fondée sur aucune base mathématique, c'est pourquoi les mathématiciens de l'époque restent dubitatifs, et y prêtent peu attention.
Niccolo Tartaglia, également mathématicien italien, critique d’ailleurs cette solution 60 ans plus tard. Il montre que si l’on interrompt la partie alors qu’une équipe a marqué 10 points et l’autre 0, la première équipe remporte les 22 ducats alors que la deuxième à des chances non négligeables de gagner.
Gerolamo Cardan, mathématicien italien, propose de répartir les gains en fonction des points que chaque équipe doit encore marquer pour remporter la partie. Cette solution résiste à la critique que l’on a faite à Luca Pacioli, mais elle ne s’appuie toujours sur aucun raisonnement mathématiques.
Ces trois mathématiciens italiens ont permis une avancée majeure dans le domaine des probabilités. sur un raisonnement. Ils sont en quelque sorte à l'origine de toutes les démonstrations mathématiques que les mathématiciens ont pu évoquer des siècles plus tard. Cependant, leur manque d'expérience leur empêche d'effectuer une démonstration logique. Leur théorie ne peut donc pas avancer.
Le Chevalier de Méré, joueur très célèbre à l’époque, pose le même type de problème à son grand ami Pascal. Méré, homme de lettres et philosophe, vécut de 1607 à 1684. Personnage marquant à la Cour, sous le règne de Louis XIV, il a acquis auprès des historiens la réputation d'un joueur hors norme, bien que sa correspondance avec les savants de son époque, notamment Roberval, Fermat et Pascal, le fasse davantage apparaître comme un esprit curieux plutôt qu'un habitué des jeux de hasard. Le fruit des discussions qu'il eut avec Pascal font de ce chevalier un précurseur essentiel du calcul des probabilités modernes.
Ce dernier entamera une correspondance avec Fermat afin de résoudre le problème. On lui prête la recherche de nombreuses règles compliquées, qui permettraient d'obtenir un avantage sur ses adversaires, et assurant son gain.
Poursuivant les travaux de Cardan, Pascal propose de prolonger fictivement la partie en simulant un tour supplémentaire. Ce tour peut donner deux résultats :
-L’équipe qui a le moins de points gagne le tour, les deux équipent partent alors avec leurs 11 ducats
-L’équipe qui a le plus de points gagne une manche et remporte donc la partie, elle gagne alors les 22 ducats
On peut donc remarquer que l’équipe en avance remporte au minimum 11 ducats. Le reste des ducats doit être partagé en deux parts égales puisque les deux équipes avaient les mêmes chances de gagner.
Par conséquent l’équipe en avance gagne 16.5 ducats (11+ 11/2) et l’équipe adverse 5.5 ducats (11/2).
Contrairement à celui de Pacioli et de Cardan, le résultat de Pascal fait preuve d’un raisonnement mathématiquement incontestable.
-Développement de la théorie de Pascal et Fermat
C’est lors d’un voyage à Paris que Christiaan Huygens, physicien et mathématicien hollandais, découvre la correspondance entre Fermat et Pascal.
Après avoir rompu avec les mathématiques cartésiennes et étudié la correspondance de Pascal et Fermat, il publie en 1657 Tractatus de ratiocinüs in alea ludo (traité sur les raisonnements dans le jeu de dés), premier traité consacré à l’étude des probabilités et des jeux de hasard.
Son contenu, quoique limité, reste d'une importance majeure. Le physicien hollandais introduit notamment ce qui devient plus tard la notion d’espérance.
Il donne aussi une solution au problème de partage des gains, similaire à celle de Pascal.
Il propose à ces lecteurs des cinq problèmes concernant les lancers de dés, des tirages dans des urnes et des tirages de cartes.
Huygens est visionnaire et assidu. Il comprend rapidement l'importance des probabilités et l'impact qu'elles peuvent créer, non seulement pour les jeux de hasard, mais aussi pour les mathématiques modernes. Il souhaite réellement étendre et développer son étude.
