QUELQUES NOTIONS SUR L'ESPERANCE MATHEMATIQUE
▪Qu'est-ce que l'espérance mathématique?
La notion d'espérance a été initialement introduite par Huygens en 1657, dans son traité De Ratiociniis in Aleao Ludo (De la logique du jeu de dé).
Prenons pour exemple un jeu de dés. Le joueur B propose ceci au joueur A : Le joueur A mise 10 euros puis lance un dé. Si le 6 sort, le joueur B s'engage à donner 20 euros au joueur A. Si les chiffres 1/2/3/4/5 sortent, le joueur A doit donner ses 10 euros misés au joueur B, qui lui ne donne rien.
Dans ce cas,on peut affirmer que l'intérêt du joueur A n'est pas de jouer. Pourquoi?
On calcule alors ce qu'on appelle l'espérance mathématique : elle est égale à la somme des gains/pertes, chacun multiplié par la probabilité de gain/de la perte.
L'espérance mathématique est ici de : 20 X 1/6 + (-10) X 5/6 = -5 euros
En moyenne, le joueur A perd 5 euros chaque fois qu'il joue.
L'espérance mathématique est négative; par conséquent il est préférable de ne pas jouer.
Supposons maintenant que le joueur B donne 80 euros au joueur A si le 6 sort, le joueur A misant toujours 10 euros, l'espérance mathématique du joueur A est de 80 X 1/6 + (-10) X 5/6 = 5 euros
En moyenne, le joueur A gagne 5 euros à chaque fois qu'il joue.
L'espérance mathématique est positive, le joueur A a donc tout intérêt à jouer.
Si le joueur B vous donne 50 euros si le 6 sort, l'espérance mathématique du joueur A est de 50 X 1/6 + (-10) X 5/6 = 0 euros l'espérance mathématique est nulle, on dit du jeu qu'il est équitable, dans ce cas, le joueur A peut donc décider de jouer ou non.
D'après ces calculs, on peut en déduire 4 éléments :
1 - Le joueur a tout intérêt à jouer si l'espérance mathématique est positive
2 - Le joueur a tout intérêt à ne jouer si l'espérance mathématique est négative
3 - Si l'espérance mathématique est nulle, le joeur fait ce qu'il veut.
4 - Il est préférable de choisir le jeu pour lequel l'espérance mathématique est la plus élevée
