▪L'espérance mathématique dans les jeux de hasard
Appliquons de cette façon l'espérance mathématique aux jeux de casino : lorsqu'un casino propose un jeu, l'espérance mathématique est forcément négative, l'intérêt du casino étant, en effet, de ramasser les mises de chaque joueur.
Citons l'exemple de la roulette. Rappelons que les numéros varient de 0 à 36. Si vous misez 100 euros sur un numéro plein (1 seul numéro), et que vous tombez sur ce numéro, vous gagnez votre mise ainsi que 35 fois celle-ci, soit 100 + 35X100 = 3600 euros.
Cependant, le numéro sur lequel vous avez misé a une probabilité de sortie d'1/37 lors d'un tour de roulette.
Votre espérance mathématique est alors de : 3500 X 1/37 + (-100) X 36/37 = -2,70 euros.
On en déduit qu'en moyenne, à chaque fois que vous jouez, vous perdez 2,70 euros.
L'espérance mathématique devrait donc dicter les décisions du joueur en toutes circonstances. Cependant il existe quelques exceptions à ce principe. Nous verrons que dans certains cas absurdes, mieux vaut ne pas se fier à l'espérance mathématique, car l'espérance mathématique ne correspond pas toujours à l'espérance de gain, c'est à dire la valeur intuitivement escomptée du gain.
▪Espérance mathématique pour un gain très élevé
Il est en effet , très facile, de construire des exemples où l'espérance mathématique ne coïncide pas avec la valeur intuitivement escomptée du gain.
Imaginez une boite avec 100 boules. 99 sont noires, une seule est blanche. Le joueur A mise 1 000 000 000 euros puis pioche une boule. Si le joueur A pioche une boule noire, le joueur B empoche les 1 000 000 000 euros du joueur A qui lui ne gagne rien. Si le joueur A pioche la boule blanche, il donne toujours ses 1 000 000 000 euros au joueur B qui lui reverse 1 000 000 000 000 euros au joueur A.
Calculons l'espérance mathématique du joueur A :
1 000 000 000 000 X 1/100 + (-1 000 000 000) X 99/100 = 9 000 000 000euros
L'espérance mathématique est positive et très importante, il semble donc intéressant de jouer sur le plan mathématique.
Cependant, si l'on réfléchit, en cas d'espérance, très peu de personnes tenteraient de jouer, sachant que la probabilité de tomber sur la boule blanche est très faible, elle est en effet de 1/100 !
Dans ce cas, il paraît plus logique de ne pas jouer, sauf si bien sur vous pouvez jouer un très grand nombre de fois à ce jeu et alors espérer tomber plus facilement sur la boule blanche, mais pour cela, il faut pouvoir miser un million d'euros plusieurs fois...
Peut-on alors déduire de cet exemple qu'en cas de très petits enjeux, où l'espérance mathématique est négative, il est raisonnable de jouer? Tel est le cas de La Française des Jeux, qui redistribue souvent moins de la moitié des sommes engagées par les parieurs, l'espérance mathématique étant toujours négative.
Dans ce cas, il ne s'agit plus d'un raisonnement mathématique mais plutôt du comportement du joueur. En cela, l'aspect psychologique joue un rôle important...
