▪Le paradoxe de Saint Pétersbourg
Ce paradoxe a été inventé par Nicolas Bernoulli à Montmort en 1713 et repris par Daniel Bernoulli en 1738. Ce paradoxe a ensuite été étudié par Laplace, Poisson, Bertrand, Borel, et plus récemment par Feller.
Le jeu de Saint Pétersbourg se joue entre deux adversaires A et B.
On cherche à savoir quelle mise le joueur B doit demander au joueur A pour que le jeu soit équitable.
Pour cela, imaginons le simple jeu pile ou face : Le joueur A lance une pièce de monnaie jusqu'à ce que pile apparaisse, tandis que le joueur B,
Si pile apparaît du premier coup, B donne 2euros à A.
Si pile apparaît du deuxième coup, B donne 22; euros à A.
Si pile apparaît du troisième coup, B donne 23 euros à A.
Si pile apparaît du troisième coup, B donne 24; euros à A.
etc...
On calcul alors l'espérance mathématique du joueur A
2 X1/2 + 4 X 1/4 + 8 X 1/8 + 16 X 1/16..... = 1 + 1 + 1 + 1... = une somme infinie
Le joueur A devrait donc miser une somme infinie pour que le jeu soit équitable...
Il serait donc impossible de rendre ce jeu mathématiquement équitable.
▪Le paradoxe de la cravate
Ce paradoxe a été proposé par Maurice Kraitchik en 1930 :
Alphonse propose à Bernard que celui qui a la plus longue cravate la donne à l'autre. Bernard raisonne ainsi : « Ma cravate a pour longueur L. Il y a une chance sur deux que ma cravate soit la plus longue, soit une chance sur deux que je la perde, donc une chance sur deux que je perde une cravate de longueur L.
Sinon, je gagne la cravate d'Alphonse, qui est plus longue que L. Donc, une fois sur deux, je gagne plus que L.
L'espérance mathématique est positive, donc je joue. Cependant, ce raisonnement comporte une erreur. En effet, on se place ici dans un cas idéal qui ne peut pas exister ; celui où toutes les longueurs possibles et imaginables de cravates ont la même probabilité et où, pour chaque longueur L, la moitié des cravates est de longueur plus grande et la moitié des cravates est de longueur plus petite, ce qui est impossible!
Pour jouer à ce jeu, il faudrait donc donner une probabilité pour chaque longueur de cravate envisageable.
